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数学很枯燥?原来数学中竟然还有这样的定理! 数学作为一门抽象的学科,常常让人觉得枯燥乏味。然而,人们往往忽略了数学中隐藏的精彩定理。例如,费马大定理便是数学史上的一个传奇,经历了数百年的挑战才最终得到证明。除此之外,哥德巴赫猜想、四色定理等也是数学界的经典问题,它们的解决引发了无尽的讨论和研究。这些定理不仅展现了数学的深奥和神秘,更激发了人们对于数学的兴趣和好奇心。让我们一起来揭开数学定理的神秘面纱,发现数学的美妙之处!
谁说数学是枯燥的?在数学里,有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理,不但深受数学家们的喜爱,在数学迷的圈子里也广为流传。
1喝醉的小鸟
定理
喝醉的酒鬼总能找到回家的路,喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。
假设有一条水平直线,从某个位置出发,每次有 50% 的概率向左走1米,有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去,最终能回到出发点的概率是多少?答案是100% 。在一维随机游走过程中,只要时间足够长,我们最终总能回到出发点。
现在考虑一个喝醉的酒鬼,他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布,酒鬼每走到一个十字路口,都会概率均等地选择一条路(包括自己来时的那条路)继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢?答案也还是 100% 。刚开始,这个醉鬼可能会越走越远,但最后他总能找到回家路。
不过,醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时,每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向,那么它很有可能永远也回不到 出发点了。事实上,在三维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率只有大约 34% 。
这个定理是着名数学家波利亚(George Pólya)在 1921 年证明的。随着维度的增加,回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走,最终能回到出发点的概率是 19.3% ,而在八维空间中,这个概率只有 7.3% 。
2你在这里
定理
把一张当地的地图平铺在地上,则总能在地图上找到一点,这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。
也就是说,如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图,那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。
除了上面的“地图定理”,布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸,把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上,根据布劳威尔不动点定理,纸团上一定 存在一点,它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。
这个定理也可以扩展到三维空间中去:当你搅拌完咖啡后,一定能在咖啡中找到一个点,它在搅拌前后的位置相同(虽然这个点在搅拌过程中可 能到过别的地方)。
3不能抚平的毛球
定理
你永远不能理顺椰子上的毛。
想象一个表面长满毛的球体,你能把所有的毛全部梳平,不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗?拓扑学告诉你,这是办不到的。这叫做毛球定理(hairy ball theorem),它也是由布劳威尔首先证明的。用数学语言来说就是,在一个球体表面,不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间:对于任意一个偶数维的球面,连续的单位向量场都是不存在的。
毛球定理在气象学上有一个有趣的应用:由于地球表面的风速和风向都是连续的,因此由毛球定理,地球上总会有一个风速为 0 的地方,也就是说气旋和风眼是不可避免的。
4气候完全相同的另一端
定理
在任意时刻,地球上总存在对称的两点,他们的温度和大气压的值正好都相同。
波兰数学家乌拉姆(Stanisław Marcin Ulam)曾经猜想,任意给定一个从 n 维球面到 n 维空间的连续函数,总能在球面上找到两个与球心相对称的点,他们的函数值是相同的。1933 年,波兰数学家博苏克(Karol Borsuk)证明了这个猜想,这就是拓扑学中的博苏克-乌拉姆定理(Borsuk–Ulam theorem)。
博苏克-乌拉姆定理有很多推论,其中一个推论就是,在地球上总存在对称的两点,他们的温度和大气压的值正好都相同(假设地球表面各地的温度差异和大气压差异是连续变化的)。
当 n = 1 时,博苏克-乌拉姆定理则可以表述为,在任一时刻,地球的赤道上总存在温度相等的两个点。对于这个弱化版的推论,我们有一个非常直观的证明方法:假设赤道上有 A、B 两个人,他们站在关于球心对称的位置上。如果此时他们所在地方的温度相同,问题就已经解决了。
下面我们只需要考虑他们所在地点的温度一高一低的情况。不妨假设,A 所在的地方是 10 度,B 所在的地方是 20 度吧。现在,让两人以相同的速度相同的方向沿着赤道旅行,保持两人始终在对称的位置上。假设在此过程中,各地的温度均不变。旅行过程中,两人不断报出自己 当地的温度。
等到两人都环行赤道半周后,A 就到了原来 B 的位置,B 也到了 A 刚开始时的位置。在整个旅行过程中,A 所报的温度从 10 开始连续变化(有可能上下波动甚至超出 10 到 20 的范围),最终变成了 20;而 B 经历的温度则从 20 出发,最终连续变化到了 10。
那么,他们所报的温度值在中间一定有“相交”的一刻,这样一来我们也就找到了赤道上两个温度相等的对称点。
5平分火腿三明治
定理
任意给定一个火腿三明治,总有一刀能把它切开,使得火腿、奶酪和面包片均被分成两等份。
而且更有趣的是,这个定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”(ham sandwich theorem)。它是由数学家亚瑟•斯通(Arthur Stone)和约翰•图基(John Tukey)在 1942 年证明的,在测度论中有着非常重要的意义。
火腿三明治定理可以扩展到 n 维的情况:如果在 n 维空间中有 n 个物体,那么总存在一个 n - 1 维的超平面,它能把每个物体都分成“体积”相等的两份。这些物体可以是任何形状,还可以是不连通的(比如面包片),甚至可以是一些奇形怪状的点集,只要满足点集可测就行了。
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