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宇宙的形状是什么？如果你是在19世纪之前出现的，你可能永远不会想到宇宙本身甚至可能有一个形状。像其他人一样，你应该从欧几里德的规则开始学习几何学，在欧几里德规则中，空间不过是一个三维网格。然后你会应用牛顿的物理定律，并假设任何两个物体之间的力，会沿着一条，也是唯一一条连接这条线的直线作用。
但从那时起，我们在理解上取得了长足的进步，不仅空间本身可以被物质和能量的存在所弯曲，而且我们可以见证这些效应。然而不知何故，当谈到宇宙作为一个整体时，空间本身似乎与完全平坦无异。为什么宇宙是相对平坦的而不是球形的？宇宙不是也垂直于相对平坦的表面膨胀吗？
让我们从旧的空间定义开始，这可能是我们大多数人所描绘的：某种三维网格。欧几里德几何学是我们大多数人学习的几何学，其中有五个假设，允许我们从中得出我们所知道的一切。
任意两点可以用直线段连接。任何线段都可以在直线上无限远地延伸。任何直线段都可以用来构造一个圆，其中直线段的一端是圆心，另一端径向扫掠。所有直角彼此相等，且包含90°（或π/2弧度）。任何两条平行的线都不会相交。你在一张图纸上画过的所有东西都遵循这些规则，我们的想法是我们的宇宙只遵循我们都熟悉的欧几里德几何的三维版本。但这不一定是这样，这是第五个假设的错。要了解原因，只需看看地球仪上的经线。
你能画的每一条经线都绕着地球转一圈，穿过赤道，在任何地方都成90度角。因为赤道是一条直线，所有的经线都是直线，这就告诉我们——至少在赤道——经线是平行的。如果欧几里德的第五个假设是真的，那么任何两条经线都不可能相交。
但经线确实相交。事实上，每一条经线在两个点相交：北极和南极。
原因和你不能“剥”一个球体然后把它平放成正方形的原因是一样的：球体的表面基本上是弯曲的而不是平的。事实上，有三种根本不同的空间表面。有正曲率的表面，如球体；有负曲率的表面，如马鞍；有零曲率的表面，如一张平纸。如果你想知道曲面的曲率是什么，你所要做的就是在上面画一个三角形，三角形越大，曲率就越容易测量，然后测量三角形的三个角，把它们加在一起。
我们大多数人都熟悉，如果我们在一张平的、没有弯曲的纸上画一个三角形会发生什么：三角形的三个内角加起来总是180°。但是如果你有一个正曲率的曲面，比如一个球体，你的角度加起来会超过180°，更大的三角形（与球体的半径相比）会超过180°。同样地，如果你有一个负曲率的曲面，比如马鞍形或双曲面，内角加起来总是小于180°，较大的三角形离标记越来越近。
这种认识——你可以有一个基本的曲面，不遵守欧几里德的第五个假设，平行线可以相交或发散——导致了现在几乎有200年历史的非欧几里德几何领域。1823年，尼科莱·洛巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky）和雅诺斯·博利亚伊（Janos Bolyai）证明了自洽非欧几里德几何在数学上是独立存在的。它们是由伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）进一步发展而来的，他将这些几何体扩展到任意数量的维度，并记下了我们今天所知的“度量张量”，其中各种参数描述了任何特定几何体是如何弯曲的。
在20世纪早期，阿尔伯特·爱因斯坦利用黎曼度量张量发展了广义相对论：一种四维时空和引力理论。
直截了当地说，爱因斯坦意识到以绝对的方式思考空间和时间——在任何情况下都不会改变——没有任何意义。在狭义相对论中，如果你以接近光速的速度旅行，空间会沿着你的运动方向收缩，时间会膨胀，两个观察者以不同的相对速度移动时，时钟会慢一些。空间和时间是如何以一种依赖于观察者的方式进行变换的，而这正是狭义相对论中的规则：对于一个不存在万有引力的宇宙。
但我们的宇宙确实有引力。特别是，不仅质量的存在，而且所有形式的能量的存在，将导致时空结构以特定的方式弯曲。爱因斯坦花了整整十年的时间，从1905年（狭义相对论出版）到1915年（包括引力在内的广义相对论最终以正确的形式提出），才弄清楚如何将引力纳入相对论，这在很大程度上依赖于黎曼早期的工作。结果，我们的广义相对论，已经通过了迄今为止的所有实验测试。
值得注意的是：当我们把广义相对论的场方程应用于我们的宇宙时，我们的物质和能量充满，膨胀，各向同性（所有方向上的平均密度相同）和均质（所有位置上的平均密度相同）宇宙——我们发现三者之间有着复杂的关系：
宇宙中各种物质和能量的总和，宇宙在最大的宇宙尺度上整体膨胀的速度，以及宇宙的曲率。
宇宙，在热大爆炸的最早时刻，非常热，非常稠密，而且膨胀也非常迅速。因为，在广义相对论中，时空结构本身的演化方式完全依赖于它内部的物质和能量，对于这样的宇宙如何随时间演化，实际上只有三种可能性。
如果膨胀率对于你的宇宙中的物质和能量来说太低，物质和能量的综合引力效应会减慢膨胀率，使它停止，然后使它反转方向，导致收缩。在短时间内，宇宙将在一个巨大的危机中消失。如果膨胀率对于你的宇宙中的物质和能量来说太高，引力不仅不能阻止和逆转膨胀，它甚至可能不能实质性地减缓膨胀。宇宙经历失控膨胀的危险是非常大的，经常使星系、恒星甚至原子的形成成为不可能。但如果它们平衡得恰到好处——膨胀率、总物质和能量密度——你就可以得到一个宇宙，它既能永远膨胀，又能形成许多丰富复杂的结构。
最后一个选项描述了我们的宇宙，在那里一切都是很平衡的，但它需要一个总的物质和能量密度，与早期的膨胀率非常匹配。
事实上，我们的宇宙是以我们观察到的性质存在的，这告诉我们，在很早的时候，宇宙必须至少非常接近于平面。物质和能量对于膨胀率来说太多的宇宙会有正曲率，而物质和能量太少的宇宙会有负曲率。只有完全平衡的情况下才会是平的。
但宇宙有可能在极大的尺度上弯曲：甚至可能比我们所能观察到的宇宙部分还要大。你可能会考虑在我们自己的位置和两个遥远的星系之间画一个三角形，把内角加起来，但我们唯一能做的就是去那些遥远的星系旅行，这是我们目前还不能做到的。在技术上，我们目前只局限于我们自己的宇宙一角。就像你不能把自己限制在自己的后院里来测量地球的曲率一样，当我们被限制在自己的太阳系里时，我们也不能形成一个足够大的三角形。
值得庆幸的是，我们可以进行两个主要的观测测试，它们确实揭示了宇宙的曲率，而且都指向了相同的结论。
1.）宇宙微波背景中出现的温度波动的角度大小。在热大爆炸的早期阶段，我们的宇宙非常均匀，但并不完全均匀。有微小的缺陷：比平均密度稍高或稍低的区域。在引力和辐射之间会产生一系列的效应，引力的作用是将物质和能量优先吸引到密度更大的区域，而辐射则是将物质向后推。结果，我们得到了一组温度波动的模式，这些模式被印在了可观察到的辐射中，这些辐射是热大爆炸留下的：宇宙微波背景。
这些波动有一个特定的光谱：在特定的距离尺度上，温度升高或降低一定程度。在一个平坦的宇宙中，这些尺度看起来是真实的，而在一个弯曲的宇宙中，这些尺度看起来更大（在正弯曲的宇宙中）或更小（在负弯曲的宇宙中）。根据我们从普朗克卫星以及其他来源所看到的波动的表面大小，我们可以确定宇宙不仅是平的，而且它的平直度至少达到99.6%的精度。
这告诉我们，如果宇宙是弯曲的，则其弯曲的规模至少是我们所能观测到的宇宙部分的250倍，宇宙的直径已经达到920亿光年。
2.）在整个宇宙不同时期聚集的星系之间明显的角度分离。同样，有一个特定的距离标尺，星系更可能沿星系聚集。如果您今天将手指放到宇宙中的任何一个星系上，并移开一定距离，您可以问一个问题：“我在这个距离上找到另一个星系的可能性有多大？”您会发现您最有可能在附近找到一个星系，并且随着移动距离的增加，距离会以一种特殊的方式减小，并有一个特殊的增强：你找到一个大约5亿光年远的星系的可能性略高于4亿光年或6亿光年远的星系。
这个距离尺度随着宇宙的膨胀而扩大，所以“增强”距离在早期宇宙中更小。然而，如果宇宙是正弯曲或负弯曲的，会有一个额外的效应叠加在它上面，因为这会影响这个集群的明显角度尺度。事实上，我们看到一个零结果，特别是如果我们把它与宇宙微波背景结果结合起来，给了我们一个更严格的限制：宇宙是平的，精度在99.75%以内。
换句话说，如果宇宙不是弯曲的——例如，如果它真的是一个超球体（三维球体的四维模拟物）——超球体的半径至少是我们可观测宇宙的400倍。
所有这些告诉我们如何知道宇宙是平的。但是要理解为什么它是平的，我们必须看看我们的宇宙起源理论，它建立了大爆炸：宇宙膨胀。不管宇宙以前是什么样子，膨胀带动了宇宙的扩张，并膨胀到了巨大的尺度。到膨胀结束时，它变得更大了以至于无论它剩下的是什么部分，我们都无法从我们所能观察到的尺度上分辨出它是平的。
唯一的例外是平坦性是由所有的量子涨落的总和引起的，这些涨落在膨胀过程中会在宇宙中被拉伸。基于我们对这些涨落如何运作的理解，这导致了一个新的预测，这个预测还没有被足够的精确测试：我们可观测到的宇宙实际上应该偏离完美的平坦度，其水平介于万分之一到百万分之一之间。
现在，我们只测量了400分之一的曲率，发现它和平面没有区别。但是，如果我们能够深入到这些超敏感的精确性，我们将有机会证实或驳斥我们宇宙起源的主导理论的预测，这是前所未有的。我们不知道它的真实形状是什么，但我们可以测量和预测它的曲率。
虽然它看起来和今天的平面没什么区别，但它可能仍然有微小但有意义的非零曲率。从现在起的一两代人，取决于我们的科学进步，我们可能最终确切地知道我们的宇宙到底有多少不是完全平坦的。
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